Dérivée faible de \(v\) \(\in L^2(\Omega)\)
$$\exists (w_i)_{1\leqslant i\leqslant N}\in L^2(\Omega),\forall\varphi\in\mathcal C_c^\infty(\Omega),\quad\int_\Omega v(x)\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}(x)\,dx=-\int_\Omega w_i(x)\varphi(x)\,dx$$

• on note alors \(\frac{\partial v}{\partial x_i}\) \(:= w_i\)
• on a l'unicité via le lemme de l'intégrale nulle
• si les dérivées fortes existent, alors elles coïncident avec la dérivée faible via le formule d'intégration par parties issue du théorème de Green
• caractérisation des fonctions dérivables au sens faible :
    
• $$\exists C\gt 0,\forall\varphi\in\mathcal C^\infty_c(\Omega),\forall i\in[\![1,N]\!],\quad\left|\int_\Omega v(x)\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}(x)\,dx\right|\leqslant C\lVert\varphi\rVert_{L^2(\Omega)}$$
• si toutes les dérivées faibles de \(v\) sont nulles, alors \(v\) est constante sur les composantes connexes de \(\Omega\)

Lemme de l'intégrale nulle, Formule d'intégration par parties (corollaire de la formule de Green)

Exercices

Cela revient à montrer que les dérivées faibles et fortes coïncident, ce qui se fait par IPP.

On a \(f\in L^p\) en tant que fonction bornée sur un domaine borné.

Le calcul de la dérivée faible se fait via un calcul venant d'une IPP.